Wielomian czwartego stopnia w ⟨−2; 3⟩ - wartość największa na końcu przedziału

Szkoła średnia średnie

Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 1$ w przedziale $\langle -2;\ 3\rangle$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Pochodna rozłożona na czynniki.

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x - 2)(x + 1)$

Krok 2. Punkty krytyczne. $f'(x) = 0$ dla $x = -1$ , $x = 0$ i $x = 2$ . Wszystkie trzy leżą w przedziale $(-2;\ 3)$ .

Krok 3. Wartości pięciu kandydatów (dwa końce i trzy punkty krytyczne):

x	−2 (koniec)	−1	0	2	3 (koniec)
f(x)	33	−4	1	−31	28

Rachunki:

$f(-2) = 3 \cdot 16 + 32 - 48 + 1 = 33, \qquad f(-1) = 3 + 4 - 12 + 1 = -4, \qquad f(0) = 1$

$f(2) = 48 - 32 - 48 + 1 = -31, \qquad f(3) = 243 - 108 - 108 + 1 = 28$

Krok 4. Porównanie. Największa liczba to $33$ , najmniejsza $-31$ .

Funkcja f(x) = 3x⁴ − 4x³ − 12x² + 1 na przedziale ⟨−2; 3⟩: największa wartość 33 na lewym końcu, najmniejsza −31 w punkcie x = 2.

Odpowiedź. Wartość największa $f(-2) = 33$ , wartość najmniejsza $f(2) = -31$ .

Zwróć uwagę, że w $x = 0$ funkcja ma maksimum lokalne, ale jego wartość $1$ jest daleko od wartości największej. W tym przedziale „górę” wyznaczają końce, a wartość największą daje lewy koniec. Gdyby ktoś porównał tylko punkty krytyczne, podałby błędnie $1$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →