Wartość największa i najmniejsza funkcji wymiernej (x − 1)/(x² + 3) w ⟨−2; 4⟩

Krok 1. Ciągłość. Mianownik $x^2 + 3 \geq 3$ nigdy się nie zeruje, więc funkcja jest ciągła w całym $\mathbb{R}$ - twierdzenie Weierstrassa gwarantuje istnienie obu wartości.

Krok 2. Pochodna ilorazu.

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 3) - (x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-(x - 3)(x + 1)}{(x^2 + 3)^2}$

Krok 3. Punkty krytyczne. Licznik zeruje się dla $x = -1$ i $x = 3$; oba należą do przedziału $(-2;\ 4)$.

Krok 4. Wartości kandydatów.

$f(-2) = \frac{-3}{7}, \qquad f(-1) = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad f(3) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}, \qquad f(4) = \frac{3}{19}$

Krok 5. Porównanie ułamków. Dwie wartości są ujemne, dwie dodatnie.

• Ujemne: $-\frac{1}{2} = -0{,}5$ i $-\frac{3}{7} \approx -0{,}43$; mniejsza jest $-\frac{1}{2}$ (sprawdzenie bez kalkulatora: $\frac{1}{2} = \frac{7}{14} > \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$).
• Dodatnie: $\frac{1}{6}$ i $\frac{3}{19}$; na krzyż $1 \cdot 19 = 19 > 18 = 3 \cdot 6$, więc $\frac{1}{6} > \frac{3}{19}$.

Odpowiedź. Wartość największa $f(3) = \frac{1}{6}$, wartość najmniejsza $f(-1) = -\frac{1}{2}$.

Wartości na końcach przedziału są tu bardzo bliskie wartościom w punktach krytycznych ($\frac{3}{19} \approx 0{,}158$ wobec $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$), więc porównanie trzeba przeprowadzić starannie, a nie „na oko”.