Parametr z wartości najmniejszej - funkcja x³ − 3a²x w przedziale ⟨0; 2⟩

Krok 1. Pochodna i punkty krytyczne.

$f'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x - a)(x + a)$

Punkty krytyczne to $x = a$ i $x = -a$. Ponieważ $a > 0$, punkt $-a$ jest ujemny i do przedziału $\langle 0;\ 2\rangle$ nie należy. Pozostaje $x = a$ - ale to, czy leży w przedziale, zależy od parametru. Stąd dwa przypadki.

Krok 2. Przypadek $0 < a < 2$. Punkt $x = a$ leży wewnątrz przedziału. Na $(0;\ a)$ pochodna jest ujemna, na $(a;\ 2)$ dodatnia - funkcja maleje, a potem rośnie, więc wartość najmniejsza to

$f(a) = a^3 - 3a^3 = -2a^3$

Warunek z zadania: $-2a^3 = -2 \iff a^3 = 1 \iff a = 1$. Liczba $1$ należy do przedziału $(0;\ 2)$, więc pasuje.

Krok 3. Przypadek $a \geq 2$. Teraz dla $x \in \langle 0;\ 2\rangle$ mamy $x \leq 2 \leq a$, więc $f'(x) = 3(x^2 - a^2) \leq 0$ - funkcja jest malejąca w całym przedziale, a wartość najmniejsza leży na prawym końcu:

$f(2) = 8 - 6a^2$

Warunek: $8 - 6a^2 = -2 \iff a^2 = \frac{5}{3} \iff a = \sqrt{\frac{5}{3}} \approx 1{,}29$. Ta liczba nie spełnia założenia $a \geq 2$, więc w tym przypadku rozwiązań nie ma. (Zresztą dla $a \geq 2$ jest $f(2) = 8 - 6a^2 \leq 8 - 24 = -16$, czyli wartość najmniejsza jest zawsze dużo mniejsza od $-2$.)

Krok 4. Sprawdzenie dla $a = 1$. $f(x) = x^3 - 3x$, kandydaci: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(2) = 8 - 6 = 2$. Najmniejsza wartość to rzeczywiście $-2$.

Odpowiedź. $a = 1$.

Najczęstszy błąd w tym zadaniu to pominięcie przypadku z kroku 3: gdy punkt krytyczny „wyjedzie” poza przedział, wartość najmniejsza przenosi się na koniec przedziału i opisuje ją inny wzór. Tu ten przypadek akurat nie dał rozwiązania, ale żeby to stwierdzić, trzeba go rozpatrzyć.