Wartość największa i najmniejsza funkcji x − 4√(x + 1) w przedziale ⟨0; 15⟩

Krok 1. Dziedzina i ciągłość. Pierwiastek wymaga $x + 1 \geq 0$, czyli $D_f = \langle -1;\ +\infty)$. Przedział $\langle 0;\ 15\rangle$ zawiera się w dziedzinie, a funkcja jest w nim ciągła.

Krok 2. Pochodna. $\left(\sqrt{x + 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$, więc

$f'(x) = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x + 1}} = \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{x + 1}}$

Krok 3. Punkty krytyczne. $f'(x) = 0 \iff \sqrt{x + 1} = 2 \iff x + 1 = 4 \iff x = 3$. Liczba $3$ należy do przedziału $(0;\ 15)$. Pochodna istnieje w całym przedziale $\langle 0;\ 15\rangle$ (mianownik $\sqrt{x + 1} \geq 1$).

Znak dla kontroli: dla $x < 3$ mamy $\sqrt{x + 1} < 2$, więc $f' < 0$; dla $x > 3$ - $f' > 0$. Funkcja maleje do $x = 3$, potem rośnie.

Krok 4. Wartości kandydatów.

$f(0) = 0 - 4 \cdot 1 = -4, \qquad f(3) = 3 - 4 \cdot 2 = -5, \qquad f(15) = 15 - 4 \cdot 4 = -1$

Krok 5. Porównanie. Spośród $-4,\ -5,\ -1$ największa jest $-1$, najmniejsza $-5$.

Odpowiedź. Wartość największa $f(15) = -1$, wartość najmniejsza $f(3) = -5$.

Wszystkie wartości są ujemne - wartość największa nie musi być dodatnia. Wystarczy, że żadna inna wartość w przedziale jej nie przekracza.