Wartość największa i najmniejsza x³ − 6x² + 5 w ⟨−1; 2⟩ - punkt krytyczny poza przedziałem

Krok 1. Metoda. Wielomian jest ciągły, więc z twierdzenia Weierstrassa w przedziale domkniętym ma wartość największą i najmniejszą. Leżą one na końcach przedziału albo w punktach krytycznych z jego wnętrza.

Krok 2. Pochodna i punkty krytyczne.

$f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$

$f'(x) = 0$ dla $x = 0$ lub $x = 4$.

Krok 3. Które punkty krytyczne się liczą. Do przedziału $(-1;\ 2)$ należy tylko $x = 0$. Punkt $x = 4$ odrzucamy - wartość $f(4) = -27$ nie ma nic wspólnego z przedziałem $\langle -1;\ 2\rangle$ i wpisanie jej do porównania dałoby złą odpowiedź.

Krok 4. Wartości kandydatów.

Rachunki: $f(-1) = -1 - 6 + 5 = -2$, $\ f(0) = 5$, $\ f(2) = 8 - 24 + 5 = -11$.

Krok 5. Porównanie. Największa z liczb $-2,\ 5,\ -11$ to $5$, najmniejsza $-11$.

Odpowiedź. Wartość największa $f(0) = 5$, wartość najmniejsza $f(2) = -11$.