Zbiór wartości funkcji (4x − 3)/(x² + 1) w ℝ i w przedziale (0; +∞)

Krok 1. Dziedzina i pochodna. Mianownik jest zawsze dodatni, więc $D_f = \mathbb{R}$.

$f'(x) = \frac{4(x^2 + 1) - (4x - 3) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 6x + 4}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2(2x + 1)(x - 2)}{(x^2 + 1)^2}$

Krok 2. Znak pochodnej i ekstrema. Licznik $-2(2x + 1)(x - 2)$ to parabola o ramionach w dół z miejscami zerowymi $-\frac{1}{2}$ i $2$.

$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-2 - 3}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{-5}{\frac{5}{4}} = -4, \qquad f(2) = \frac{8 - 3}{5} = 1$

Krok 3. Granice w nieskończoności. Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x - 3}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 0$

Krok 4. Zbiór wartości w ℝ (część a). Na $(-\infty;\ -\frac{1}{2}\rangle$ funkcja maleje od wartości bliskich $0$ do $-4$, na $\langle -\frac{1}{2};\ 2\rangle$ rośnie od $-4$ do $1$, na $\langle 2;\ +\infty)$ maleje od $1$ do wartości bliskich $0$. Żadna wartość nie jest mniejsza od $-4$ ani większa od $1$, a obie są osiągane. Funkcja jest ciągła, więc przyjmuje też wszystkie wartości pośrednie:

$ZW_f = \langle -4;\ 1\rangle$

Krok 5. Przedział $(0;\ +\infty)$ (część b). Na $(0;\ 2\rangle$ funkcja rośnie, na $\langle 2;\ +\infty)$ maleje. Końca $x = 0$ w przedziale nie ma, więc zamiast wartości liczymy granicę:

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{-3}{1} = -3$

• Na $(0;\ 2\rangle$ wartości rosną od liczb bliskich $-3$ (ale większych od $-3$) do $1$ - daje to przedział $(-3;\ 1\rangle$.
• Na $\langle 2;\ +\infty)$ wartości maleją od $1$ do liczb bliskich $0$; są dodatnie, bo $4x - 3 > 0$ dla $x > \frac{3}{4}$ - daje to przedział $(0;\ 1\rangle$, zawarty w poprzednim.

Zatem zbiór wartości w $(0;\ +\infty)$ to $(-3;\ 1\rangle$. Wartość największa istnieje: $f(2) = 1$. Wartości najmniejszej nie ma - dla każdego $x > 0$ jest $f(x) > -3$, a wartości dowolnie bliskie $-3$ są przyjmowane w pobliżu zera. Liczba $-3 = f(0)$ nie należy do zbioru, bo $0 \notin (0;\ +\infty)$.

Odpowiedź. a) $ZW_f = \langle -4;\ 1\rangle$ (wartość najmniejsza $-4$, największa $1$). b) W przedziale $(0;\ +\infty)$ zbiór wartości to $(-3;\ 1\rangle$; wartość największa to $1$, a wartości najmniejszej funkcja nie ma.

Uwaga: minimum $-4$ z części a) leży w $x = -\frac{1}{2}$, czyli poza przedziałem z części b), dlatego w b) trzeba było policzyć granicę na otwartym końcu, a nie przepisać wynik z a).