Funkcja bez punktów krytycznych - wartości skrajne x³ + 3x − 2 na końcach przedziału

Krok 1. Pochodna.

$f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)$

Krok 2. Punkty krytyczne. Równanie $3(x^2 + 1) = 0$ nie ma rozwiązań, bo $x^2 + 1 \geq 1$. Co więcej, $f'(x) \geq 3 > 0$ dla każdego $x$, więc funkcja jest rosnąca w całym $\mathbb{R}$, a w szczególności w przedziale $\langle -1;\ 2\rangle$.

Krok 3. Wniosek. Funkcja rosnąca przyjmuje najmniejszą wartość na lewym końcu przedziału, a największą - na prawym. Kandydatami są więc tylko końce:

$f(-1) = -1 - 3 - 2 = -6, \qquad f(2) = 8 + 6 - 2 = 12$

Odpowiedź. Wartość najmniejsza $f(-1) = -6$, wartość największa $f(2) = 12$.

To samo wyszłoby z ogólnego algorytmu (końce i punkty krytyczne), tyle że lista punktów krytycznych jest pusta. Z tego samego rozumowania wynika też zbiór wartości funkcji w tym przedziale: $\langle -6;\ 12\rangle$.