Czworokąt wpisany w okrąg - kąty zależne od x, kąty przeciwległe

Krok 1. Własność czworokąta wpisanego. W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$: $|\angle A| + |\angle C| = 180^\circ$ oraz $|\angle B| + |\angle D| = 180^\circ$.

Krok 2. Równanie z kątów $A$ i $C$.

$3x + (x + 20^\circ) = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 4x = 160^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 40^\circ.$

Krok 3. Kąty $A$, $B$, $C$.

$|\angle A| = 3 \cdot 40^\circ = 120^\circ, \quad |\angle B| = 2 \cdot 40^\circ + 25^\circ = 105^\circ, \quad |\angle C| = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ.$

Krok 4. Kąt $D$ jest przeciwległy do $B$:

$|\angle D| = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ.$

Sprawdzenie: $120^\circ + 105^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 360^\circ$. Uwaga: gdyby zsumować kąty sąsiednie $A$ i $B$ do $180^\circ$, wyszłoby $x = 31^\circ$ - to warunek trapezu, nie czworokąta wpisanego.

Odpowiedź. $x = 40^\circ$; kąty mają miary $|\angle A| = 120^\circ$, $|\angle B| = 105^\circ$, $|\angle C| = 60^\circ$, $|\angle D| = 75^\circ$.