Kąty czworokąta w stosunku 2 : 3 : 4 : 6 - czy da się go wpisać w okrąg?

Krok 1. Suma kątów. Przekątna dzieli czworokąt wypukły na dwa trójkąty, więc suma jego kątów wynosi $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Krok 2. Kąty (punkt a). Kąty to $2x$, $3x$, $4x$, $6x$:

$2x + 3x + 4x + 6x = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad 15x = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 24^\circ.$

Kąty mają więc miary: $|\angle A| = 48^\circ$, $|\angle B| = 72^\circ$, $|\angle C| = 96^\circ$, $|\angle D| = 144^\circ$.

Krok 3. Czy to trapez (punkt b)? W trapezie kąty przy jednym ramieniu - czyli dwa kolejne kąty - sumują się do $180^\circ$. Sprawdzamy wszystkie cztery pary kolejnych kątów:

$48^\circ + 72^\circ = 120^\circ, \quad 72^\circ + 96^\circ = 168^\circ, \quad 96^\circ + 144^\circ = 240^\circ, \quad 144^\circ + 48^\circ = 192^\circ.$

Żadna suma nie wynosi $180^\circ$, więc żadna para boków nie jest równoległa - to nie jest trapez.

Krok 4. Czy da się wpisać w okrąg (punkt c)? Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy kątów przeciwległych wynoszą $180^\circ$. Tu

$|\angle A| + |\angle C| = 48^\circ + 96^\circ = 144^\circ \neq 180^\circ.$

Odpowiedź. a) $48^\circ$, $72^\circ$, $96^\circ$, $144^\circ$. b) Nie, nie jest trapezem. c) Nie, nie można go wpisać w okrąg.