Reguła Pascala - zapisz sumę symboli Newtona jako jeden symbol

Krok 1. Reguła Pascala. Dwa sąsiednie symbole z tego samego wiersza sumują się do symbolu z wiersza niżej:

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$

W trójkącie Pascala to dokładnie zasada „każda liczba jest sumą dwóch liczb nad nią”.

Krok 2. Przykład a). Tu $n = 11$, $k = 4$:

$\binom{11}{4} + \binom{11}{5} = \binom{12}{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792.$

Krok 3. Przykład b) - rozbijamy środkowy składnik. Zapisujemy $2\binom{9}{3}$ jako $\binom{9}{3} + \binom{9}{3}$ i łączymy w dwie pary sąsiadów:

$\left[\binom{9}{2} + \binom{9}{3}\right] + \left[\binom{9}{3} + \binom{9}{4}\right] = \binom{10}{3} + \binom{10}{4}.$

Te dwa symbole znów są sąsiadami, więc stosujemy regułę jeszcze raz:

$\binom{10}{3} + \binom{10}{4} = \binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330.$

Sprawdzenie wprost: $36 + 2 \cdot 84 + 126 = 330$.

Krok 4. Przykład c) - łańcuch. Najpierw dwa pierwsze składniki: $\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = \binom{8}{4}$. Teraz $\binom{8}{4}$ i $\binom{8}{5}$ są sąsiadami:

$\binom{8}{4} + \binom{8}{5} = \binom{9}{5} = \binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126.$

Odpowiedź. a) $\binom{12}{5} = 792$; b) $\binom{11}{4} = 330$; c) $\binom{9}{5} = 126$.