Upraszczanie wyrażeń z silnią i symbolem Newtona dla dowolnego n

Krok 1. Rozpisujemy większą silnię do mniejszej. Silnia ma własność $m! = m \cdot (m-1)!$. Stosujemy ją dwa razy:

$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!.$

Krok 2. Przykład a). Czynnik $(n-1)!$ się skraca:

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = n(n+1) = n^2 + n.$

Sprawdzenie dla $n = 6$: $\frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$, a $6^2 + 6 = 42$.

Krok 3. Przykład b). Z symetrii $\binom{n}{n-2} = \binom{n}{2}$, a z definicji:

$\binom{n}{2} = \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}.$

Sprawdzenie dla $n = 7$: $\binom{7}{5} = 21$ i $\frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.

Krok 4. Przykład c). Wzór z kroku 3 stosujemy dla $n + 1$ i dla $n$:

$\binom{n+1}{2} - \binom{n}{2} = \frac{(n+1)n}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n\big((n+1) - (n-1)\big)}{2} = \frac{n \cdot 2}{2} = n.$

Wynik ma prostą interpretację: par w zbiorze $(n+1)$-elementowym jest o tyle więcej niż w $n$-elementowym, ile par zawiera nowy element - a łączy się on w parę z każdym z $n$ starych.

Odpowiedź. a) $n^2 + n$; b) $\frac{n(n-1)}{2}$; c) $n$.