Równanie n po 3 = 4 · (n po 2) - skracanie symboli Newtona

Krok 1. Dziedzina. Oba symbole istnieją dla $n \geq 3$.

Krok 2. Rozpisujemy symbole.

$\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \qquad \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.$

Równanie przyjmuje postać

$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4 \cdot \frac{n(n-1)}{2}.$

Krok 3. Dzielimy przez wspólny czynnik. Dla $n \geq 3$ iloczyn $n(n-1)$ jest różny od zera, więc możemy przez niego podzielić obie strony:

$\frac{n-2}{6} = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad n - 2 = 12 \quad \Longleftrightarrow \quad n = 14.$

Uwaga: dzielenie przez $n(n-1)$ jest bezpieczne właśnie dzięki dziedzinie. Bez niej zgubilibyśmy z oczu „rozwiązania” $n = 0$ i $n = 1$, dla których $\binom{n}{3}$ w ogóle nie jest określony.

Krok 4. Sprawdzenie.

$\binom{14}{3} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{6} = 364, \qquad 4 \cdot \binom{14}{2} = 4 \cdot 91 = 364.$

Odpowiedź. $n = 14$.