Jak obliczyć symbol Newtona? Skracanie i symetria n po k

Krok 1. Wzór i skracanie silni. Z definicji

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.$

Nie liczymy całych silni. W liczniku $n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!$, więc $(n-k)!$ skraca się z mianownikiem i zostaje $k$ czynników malejących od $n$, podzielonych przez $k!$.

Krok 2. Przykład a).

$\binom{12}{3} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220.$

Szybciej: $\frac{12}{3 \cdot 2} = 2$, więc wynik to $2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Krok 3. Przykład b) - symetria. Licząc wprost, w liczniku mielibyśmy $13$ czynników. Korzystamy z własności $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ - wybrać $13$ osób z $15$ to to samo, co wskazać $2$ osoby, których nie wybieramy:

$\binom{15}{13} = \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105.$

Krok 4. Przykład c). Tak samo:

$\binom{100}{98} = \binom{100}{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950.$

Odpowiedź. a) $220$; b) $105$; c) $4950$.