Równanie z symbolem Newtona - wyznacz n (n po 2 = 105, n po 3 = n po 5)

Krok 1. Dziedzina. Symbol $\binom{n}{k}$ ma sens dla $n \geq k$. W a) musi być $n \geq 2$, w b) - $n \geq 5$ (oba symbole muszą istnieć).

Krok 2. Przykład a) - równanie kwadratowe. Wiemy, że $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$, więc

$\frac{n(n-1)}{2} = 105 \quad \Longleftrightarrow \quad n^2 - n - 210 = 0.$

Krok 3. Rozwiązujemy.

$\Delta = 1 + 840 = 841 = 29^2, \qquad n = \frac{1 + 29}{2} = 15 \quad \text{lub} \quad n = \frac{1 - 29}{2} = -14.$

Liczba $-14$ nie należy do dziedziny. Zostaje $n = 15$. Sprawdzenie: $\frac{15 \cdot 14}{2} = 105$.

Krok 4. Przykład b) - symetria. Z własności $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ wiemy, że $\binom{n}{3} = \binom{n}{n-3}$. Równość $\binom{n}{3} = \binom{n}{5}$ zachodzi więc, gdy $n - 3 = 5$, czyli $n = 8$.

Krok 5. Czy innych rozwiązań nie ma? Symbole w jednym wierszu trójkąta Pascala rosną aż do środka wiersza, a potem maleją symetrycznie. Dwie różne pozycje $3$ i $5$ dają tę samą liczbę tylko wtedy, gdy leżą symetrycznie względem środka, czyli gdy $3 + 5 = n$. Można też policzyć wprost: po skróceniu równanie daje $(n-3)(n-4) = 5 \cdot 4$, czyli $n - 3 = 5$. Sprawdzenie: $\binom{8}{3} = 56 = \binom{8}{5}$.

Odpowiedź. a) $n = 15$; b) $n = 8$.