Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną: h² = p · q

Krok 1. Podobieństwo. Wysokość dzieli trójkąt na dwa mniejsze trójkąty prostokątne. Każdy z nich ma wspólny kąt ostry z dużym trójkątem, więc wszystkie trzy są podobne (cecha kąt-kąt).

Krok 2. Wysokość. Z podobieństwa dwóch małych trójkątów: $\frac{h}{4} = \frac{9}{h}$, czyli

$h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \quad\Longrightarrow\quad h = 6.$

Krok 3. Przyprostokątne. Przeciwprostokątna ma długość $c = 4 + 9 = 13$. Z podobieństwa małego trójkąta do dużego każda przyprostokątna jest średnią geometryczną przeciwprostokątnej i odcinka do niej przyległego:

$a^2 = 4 \cdot 13 = 52 \ \Longrightarrow\ a = 2\sqrt{13}, \qquad b^2 = 9 \cdot 13 = 117 \ \Longrightarrow\ b = 3\sqrt{13}.$

Sprawdzenie twierdzeniem Pitagorasa: $52 + 117 = 169 = 13^2$. $\checkmark$

Odpowiedź. $h = 6$, przyprostokątne $2\sqrt{13}$ i $3\sqrt{13}$.