Nierówność 2cos x + 1 > 0 - rozwiązanie ogólne i w przedziale ⟨0; 2π⟩

Krok 1. Postać elementarna. Przenosimy $1$ i dzielimy przez $2$:

$2\cos x > -1 \iff \cos x > -\frac{1}{2}.$

Krok 2. Równanie. $\cos x = -\frac{1}{2}$ dla $x = \frac{2\pi}{3}$ (bo $\cos\frac{2\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$) oraz, z parzystości cosinusa, dla $x = -\frac{2\pi}{3}$.

Krok 3. Okrąg jednostkowy. Cosinus to pierwsza współrzędna punktu, więc rysujemy prostą pionową $x = -\frac{1}{2}$. Punkty, których pierwsza współrzędna jest większa od $-\frac{1}{2}$, leżą na prawo od niej - na długim łuku od $-\frac{2\pi}{3}$ do $\frac{2\pi}{3}$, przechodzącym przez kąt $0$.

Krok 4. a) Zapis ogólny. Łuk zaczyna się przy kącie ujemnym, więc zapisujemy:

$x \in \left( -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi;\ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}.$

Nierówność jest ostra - końce nie należą do rozwiązania.

Krok 5. b) Przedział ⟨0; 2π⟩. Dla $k = 0$ dostajemy $\left( -\frac{2\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3} \right)$, z czego w przedziale zostaje $\left\langle 0;\ \frac{2\pi}{3} \right)$. Dla $k = 1$: $\left( \frac{4\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3} \right)$, z czego zostaje $\left( \frac{4\pi}{3};\ 2\pi \right\rangle$. Liczby $0$ i $2\pi$ należą do rozwiązania, bo $2\cos 0 + 1 = 3 > 0$.

Uwaga na typowy błąd: zapis $\left( \frac{2\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3} \right)$ to rozwiązanie nierówności przeciwnej, $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Odpowiedź. a) $x \in \left( -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi;\ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right)$, $k \in \mathbb{Z}$; b) $x \in \left\langle 0;\ \frac{2\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{4\pi}{3};\ 2\pi \right\rangle$.