Nierówność sin(2x − π/3) < 1/2 w przedziale ⟨0; π⟩

Krok 1. Podstawienie i nowy przedział. Niech $u = 2x - \frac{\pi}{3}$. Gdy $x$ przebiega $\left\langle 0;\ \pi \right\rangle$, to $u$ przebiega

$u \in \left\langle -\frac{\pi}{3};\ 2\pi - \frac{\pi}{3} \right\rangle = \left\langle -\frac{\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3} \right\rangle.$

Krok 2. Nierówność dla u. Rozwiązujemy $\sin u < \frac{1}{2}$ w przedziale $\left\langle -\frac{\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3} \right\rangle$. Równanie $\sin u = \frac{1}{2}$ ma w nim rozwiązania $u = \frac{\pi}{6}$ i $u = \frac{5\pi}{6}$ (kolejne, $\frac{13\pi}{6}$, wypada już poza przedział). Sinus jest mniejszy od $\frac{1}{2}$ poza garbem $\left( \frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6} \right)$:

$u \in \left\langle -\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{5\pi}{6};\ \frac{5\pi}{3} \right\rangle.$

Krok 3. Powrót do x. Z $u = 2x - \frac{\pi}{3}$ mamy $x = \frac{u}{2} + \frac{\pi}{6}$. Przeliczamy końce:

$-\frac{\pi}{3} \to 0, \qquad \frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{4}, \qquad \frac{5\pi}{6} \to \frac{7\pi}{12}, \qquad \frac{5\pi}{3} \to \pi.$

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $x = 0$: $\sin\left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{1}{2}$ - zgadza się. Dla $x = \frac{\pi}{3}$ (środek wyłączonego kawałka): $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, więc ten punkt słusznie nie należy do rozwiązania.

Odpowiedź. $x \in \left\langle 0;\ \frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{7\pi}{12};\ \pi \right\rangle$.