Nierówność (2sin x − 1)/cos x ≥ 0 w przedziale ⟨0; 2π⟩ - iloraz i dziedzina

Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem: $\cos x \neq 0$, czyli w podanym przedziale $x \neq \frac{\pi}{2}$ i $x \neq \frac{3\pi}{2}$.

Krok 2. Zera licznika. $2\sin x - 1 = 0 \iff \sin x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{\pi}{6}$ lub $x = \frac{5\pi}{6}$. Licznik jest nieujemny, gdy $\sin x \ge \frac{1}{2}$, czyli na $\left\langle \frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6} \right\rangle$, a ujemny w pozostałej części przedziału.

Krok 3. Znak mianownika. $\cos x > 0$ w I i IV ćwiartce: na $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2} \right)$ i $\left( \frac{3\pi}{2};\ 2\pi \right\rangle$; $\cos x < 0$ na $\left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right)$.

Krok 4. Tabela znaków. Punkty $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2}$ dzielą przedział na kawałki, w których iloraz ma stały znak:

Krok 5. Końce. Iloraz jest równy zeru w $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$ - te punkty należą do rozwiązania (nierówność nieostra). Punkty $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$ odpadają z dziedziny.

Typowy błąd: pomnożenie obu stron przez $\cos x$ bez sprawdzenia znaku. Dla $\cos x < 0$ zmienia się kierunek nierówności - stąd przedział $\left\langle \frac{5\pi}{6};\ \frac{3\pi}{2} \right)$, w którym licznik i mianownik są oba ujemne.

Odpowiedź. $x \in \left\langle \frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2} \right) \cup \left\langle \frac{5\pi}{6};\ \frac{3\pi}{2} \right)$.