Nierówność tg x < √3 w przedziale (−π/2; 3π/2) - tangens z asymptotami

Krok 1. Dziedzina. Tangens nie istnieje dla $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. W podanym przedziale wyłączamy więc $x = \frac{\pi}{2}$ (końce $-\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$ już do przedziału nie należą).

Krok 2. Równanie. $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ dla $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. W przedziale $\left( -\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right)$ są dwa takie punkty: $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

Krok 3. Wykres. Tangensoida rośnie na każdej gałęzi. Na gałęzi $\left( -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right)$ jest mniejsza od $\sqrt{3}$ od asymptoty $-\frac{\pi}{2}$ aż do $\frac{\pi}{3}$, a na gałęzi $\left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right)$ - od asymptoty $\frac{\pi}{2}$ do $\frac{4\pi}{3}$.

Krok 4. Końce. Nierówność jest ostra, więc $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{4\pi}{3}$ odpadają, a $\frac{\pi}{2}$ - z powodu dziedziny. Typowy błąd to odpowiedź $\left( -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2};\ \frac{4\pi}{3} \right)$ zapisana jako jeden przedział $\left( -\frac{\pi}{2};\ \frac{4\pi}{3} \right)$ - ten zawiera np. $x = 1{,}2$, dla którego $\operatorname{tg} 1{,}2 \approx 2{,}57 > \sqrt{3}$.

Odpowiedź. $x \in \left( -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2};\ \frac{4\pi}{3} \right)$.