Nierówność 2sin² x − sin x − 1 < 0 w przedziale ⟨0; 2π⟩ - podstawienie t = sin x

Krok 1. Podstawienie. Niech $t = \sin x$, przy czym $t \in \left\langle -1;\ 1 \right\rangle$. Nierówność przyjmuje postać

$2t^2 - t - 1 < 0.$

Krok 2. Nierówność kwadratowa. $\Delta = 1 + 8 = 9$, więc $t_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$ i $2t^2 - t - 1 = (2t + 1)(t - 1)$. Parabola ma ramiona w górę, więc jest ujemna między pierwiastkami:

$-\frac{1}{2} < t < 1, \qquad \text{czyli} \qquad -\frac{1}{2} < \sin x < 1.$

Krok 3. Dwa warunki. Warunek $\sin x < 1$ wyłącza tylko punkt, w którym $\sin x = 1$, czyli $x = \frac{\pi}{2}$. Warunek $\sin x > -\frac{1}{2}$: równanie $\sin x = -\frac{1}{2}$ ma w przedziale rozwiązania $\frac{7\pi}{6}$ i $\frac{11\pi}{6}$, a sinusoida jest pod prostą $y = -\frac{1}{2}$ tylko między nimi. Zatem $\sin x > -\frac{1}{2}$ dla $x \in \left\langle 0;\ \frac{7\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{11\pi}{6};\ 2\pi \right\rangle$.

Krok 4. Część wspólna. Z przedziału $\left\langle 0;\ \frac{7\pi}{6} \right)$ usuwamy $\frac{\pi}{2}$. Łatwo o tym zapomnieć: dla $x = \frac{\pi}{2}$ lewa strona to $2 - 1 - 1 = 0$, a nierówność jest ostra.

Odpowiedź. $x \in \left\langle 0;\ \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2};\ \frac{7\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{11\pi}{6};\ 2\pi \right\rangle$.