Nierówność sin x + cos x > 1 w przedziale ⟨0; 2π⟩ - wzór √2 sin(x + π/4)

Krok 1. Jedna funkcja zamiast dwóch. Wyłączamy $\sqrt{2}$ i korzystamy ze wzoru na sinus sumy ($\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$):

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right).$

Krok 2. Nierówność elementarna. Dzielimy przez $\sqrt{2}$:

$\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) > \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 3. Podstawienie. Niech $u = x + \frac{\pi}{4}$. Dla $x \in \left\langle 0;\ 2\pi \right\rangle$ jest $u \in \left\langle \frac{\pi}{4};\ \frac{9\pi}{4} \right\rangle$. Nierówność $\sin u > \frac{\sqrt{2}}{2}$ zachodzi dla $u \in \left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi;\ \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \right)$. W przedziale dla $u$ mieści się tylko przedział dla $k = 0$, czyli $\left( \frac{\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4} \right)$; następny zaczynałby się w $\frac{9\pi}{4}$ i jest otwarty, więc nic z niego nie zostaje.

Krok 4. Powrót do x. Odejmujemy $\frac{\pi}{4}$: $x \in \left( 0;\ \frac{\pi}{2} \right)$.

Krok 5. Sprawdzenie końców. Dla $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ i $x = 2\pi$ suma $\sin x + \cos x$ jest równa dokładnie $1$, a nierówność jest ostra - te punkty nie należą do rozwiązania.

Odpowiedź. $x \in \left( 0;\ \frac{\pi}{2} \right)$.