Równanie 2ˣ + x = 3 - rozwiązanie z monotoniczności

Krok 1. Dlaczego żadna znana metoda nie działa. Niewiadoma stoi raz w wykładniku, a raz „na dole”. Nie da się sprowadzić równania do wspólnej podstawy ani podstawić $t = 2^x$ tak, żeby zniknął samotny $x$. Taki przypadek rozwiązuje się rozumowaniem: zgadujemy rozwiązanie i dowodzimy, że jest jedyne.

Krok 2. Zgadnięcie. Sprawdzamy małe liczby całkowite. Dla $x = 1$:

$2^1 + 1 = 3$

Zatem $x = 1$ jest rozwiązaniem.

Krok 3. Jedyność. Rozważmy funkcję $f(x) = 2^x + x$. Jest ona sumą dwóch funkcji rosnących: $y = 2^x$ (podstawa $2 > 1$) i $y = x$. Suma funkcji rosnących jest rosnąca: jeśli $x_1 < x_2$, to $2^{x_1} < 2^{x_2}$ i $x_1 < x_2$, więc po dodaniu stronami $f(x_1) < f(x_2)$.

Funkcja rosnąca jest różnowartościowa - każdą wartość, w tym wartość $3$, przyjmuje co najwyżej raz. Skoro przyjmuje ją dla $x = 1$, to dla żadnego innego argumentu.

Pułapka: samo „zgadłem, że $x = 1$” nie jest rozwiązaniem zadania. Bez uzasadnienia jedyności nie wiadomo, czy gdzieś nie ma drugiego pierwiastka - przy równaniu $2^x = x + 1$ na przykład są dwa: $x = 0$ i $x = 1$.

Odpowiedź. $x = 1$ (jedyne rozwiązanie).