Równanie (√2)ˣ = 8∛4 - pierwiastki jako potęgi o wykładniku wymiernym

Krok 1. Pierwiastki jako potęgi dwójki. Pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym:

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}, \qquad \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}, \qquad 8 = 2^3$

Krok 2. Lewa strona. Potęga potęgi - mnożymy wykładniki:

$\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^x = 2^{\frac{x}{2}}$

Krok 3. Prawa strona. Iloczyn potęg o tej samej podstawie - dodajemy wykładniki:

$2^3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{3 + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{11}{3}}$

Krok 4. Porównanie wykładników.

$2^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{11}{3}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{2} = \frac{11}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{22}{3}$

Krok 5. Sprawdzenie. $\left(\sqrt{2}\right)^{\frac{22}{3}} = 2^{\frac{11}{3}} = 2^3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8\sqrt[3]{4}$.

Odpowiedź. $x = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}$.