Równanie 3ˣ⁺¹ − 3ˣ⁻¹ = 24 - wyłączanie najmniejszej potęgi

Krok 1. Którą potęgę wyłączyć? Najwygodniej wyłączyć potęgę o najmniejszym wykładniku, czyli $3^{x - 1}$ - wtedy w nawiasie zostają liczby całkowite, a nie ułamki. Ponieważ $x + 1 = (x - 1) + 2$:

$3^{x + 1} = 3^{x - 1} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{x - 1}$

Krok 2. Wyłączenie przed nawias.

$9 \cdot 3^{x - 1} - 3^{x - 1} = 24 \quad\Longrightarrow\quad 3^{x - 1}(9 - 1) = 24 \quad\Longrightarrow\quad 8 \cdot 3^{x - 1} = 24$

Krok 3. Wyznaczenie wykładnika.

$3^{x - 1} = 3 = 3^1 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

Krok 4. Sprawdzenie. $3^3 - 3^1 = 27 - 3 = 24$.

Ten sam wynik da wyłączenie $3^x$: $3^x\left(3 - \frac{1}{3}\right) = 24$, czyli $\frac{8}{3} \cdot 3^x = 24$ i $3^x = 9$ - tylko rachunek z ułamkiem jest mniej wygodny.

Odpowiedź. $x = 2$.