Równanie (2/5)ˣ⁻¹ = 125/8 - podstawa ułamkowa i wykładnik ujemny

Krok 1. Rozpoznanie prawej strony. $125 = 5^3$ i $8 = 2^3$, więc

$\frac{125}{8} = \left(\frac{5}{2}\right)^3$

To jest odwrotność ułamka $\frac{2}{5}$ podniesiona do sześcianu. Odwrotność zapisujemy wykładnikiem ujemnym:

$\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$

Krok 2. Porównanie wykładników. Po obu stronach jest ta sama podstawa $\frac{2}{5}$:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{x - 1} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-3} \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = -3 \quad\Longrightarrow\quad x = -2$

Pułapka: odpowiedź $x = 4$ (z równania $x - 1 = 3$) bierze się z przeoczenia, że po prawej stronie stoi odwrotność podstawy, a nie sama podstawa.

Krok 3. Sprawdzenie. $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}$.

Odpowiedź. $x = -2$.