Równanie 5^(x² − x − 6) = 1 - kiedy potęga równa się jeden

Krok 1. Jedynka jako potęga piątki. Każda dodatnia liczba w potędze zerowej daje 1, więc $1 = 5^0$:

$5^{x^2 - x - 6} = 5^0$

Krok 2. Porównanie wykładników. Funkcja $y = 5^x$ jest różnowartościowa, zatem

$x^2 - x - 6 = 0$

Krok 3. Równanie kwadratowe.

$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25, \qquad x = \frac{1 - 5}{2} = -2 \quad \text{lub} \quad x = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $x = -2$: $4 + 2 - 6 = 0$; dla $x = 3$: $9 - 3 - 6 = 0$. W obu przypadkach $5^0 = 1$.

Uwaga: potęga $a^{f(x)}$ o podstawie $a > 0$, $a \ne 1$ jest równa 1 tylko wtedy, gdy wykładnik jest zerem. Nie ma innych rozwiązań.

Odpowiedź. $x = -2$ lub $x = 3$.