Wykaż, że a/b + b/c + c/a ≥ 3 dla liczb dodatnich

Krok 1. Dlaczego nie wystarczy chwyt z parami. Nierówność $\tfrac{x}{y} + \tfrac{y}{x} \ge 2$ wymaga pary „ułamek i jego odwrotność”. Tu takich par nie ma: odwrotność $\tfrac{a}{b}$ to $\tfrac{b}{a}$, a w sumie występuje $\tfrac{b}{c}$. Potrzebna jest nierówność dla trzech liczb.

Krok 2. Iloczyn składników jest stały. Wszystkie trzy ułamki są dodatnie, a ich iloczyn

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{abc}{bca} = 1.$

Krok 3. Nierówność między średnimi dla trzech liczb. Średnia arytmetyczna trzech liczb dodatnich jest nie mniejsza niż ich średnia geometryczna:

$\frac{1}{3}\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) \ge \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} = \sqrt[3]{1} = 1.$

Mnożąc przez $3$, dostajemy tezę. $\blacksquare$

Krok 4. Kiedy równość. Nierówność między średnimi zamienia się w równość tylko wtedy, gdy wszystkie trzy liczby są równe: $\tfrac{a}{b} = \tfrac{b}{c} = \tfrac{c}{a} = k$. Ich iloczyn to $k^3 = 1$, więc $k = 1$. Zatem $a = b$ i $b = c$, czyli $a = b = c$.

Sprawdzenie dla liczb różnych: $a = 1$, $b = 2$, $c = 4$ daje $\tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{4} + \tfrac{4}{1} = 5 \ge 3$.

Uwaga: założenie dodatniości jest konieczne. Dla $a = 1$, $b = -1$, $c = 1$ suma wynosi $-1 - 1 + 1 = -1 < 3$. Średnią geometryczną liczymy tylko z liczb nieujemnych.

Krok 5. Wersja „bez trzech średnich”. Kto zna tylko nierówność dla dwóch liczb, może podstawić $x = \tfrac{a}{b}$, $y = \tfrac{b}{c}$, wtedy $\tfrac{c}{a} = \tfrac{1}{xy}$, i badać $x + y + \tfrac{1}{xy} - 3$ - to jednak znacznie dłuższa droga. Nierówność między średnimi $n$ liczb jest tu właściwym narzędziem.

Odpowiedź. Trzy dodatnie składniki mają iloczyn $1$, więc ich suma wynosi co najmniej $3\sqrt[3]{1} = 3$; równość zachodzi tylko dla $a = b = c$.