Wykaż, że x²/(x − 1) ≥ 4 dla x > 1

Sposób 1 - metoda różnicy.

Krok 1. Wspólny mianownik. Dla $x > 1$ mianownik $x - 1$ jest dodatni, więc wyrażenie jest określone. Odejmujemy $4 = \dfrac{4(x - 1)}{x - 1}$:

$\frac{x^2}{x - 1} - 4 = \frac{x^2 - 4(x - 1)}{x - 1} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1} = \frac{(x - 2)^2}{x - 1}.$

Krok 2. Znak. Licznik $(x - 2)^2 \ge 0$, mianownik $x - 1 > 0$. Różnica jest nieujemna, więc $\dfrac{x^2}{x - 1} \ge 4$. $\blacksquare$

Sposób 2 - podstawienie i średnie. Oznaczmy $t = x - 1$. Z założenia $t > 0$, a $x = t + 1$:

$\frac{x^2}{x - 1} = \frac{(t + 1)^2}{t} = \frac{t^2 + 2t + 1}{t} = t + 2 + \frac{1}{t}.$

Liczby $t$ i $\tfrac{1}{t}$ są dodatnie i mają iloczyn $1$, więc $t + \tfrac{1}{t} \ge 2$. Stąd $t + 2 + \tfrac{1}{t} \ge 4$. $\blacksquare$

Krok 3. Kiedy równość. Gdy $x - 2 = 0$ (albo $t = 1$), czyli $x = 2$: $\tfrac{2^2}{2 - 1} = 4$.

Uwaga: dla $x < 1$ nierówność jest fałszywa. Licznik $x^2$ jest nieujemny, a mianownik ujemny, więc lewa strona jest wtedy co najwyżej zerem - np. dla $x = 0$ wynosi $0$. Założenie $x > 1$ nie jest ozdobą: w sposobie 1 daje dodatni mianownik, w sposobie 2 - dodatnie $t$.

Odpowiedź. Dla $x > 1$ różnica $\dfrac{x^2}{x - 1} - 4$ równa się $\dfrac{(x - 2)^2}{x - 1} \ge 0$; równość zachodzi tylko dla $x = 2$.