Wykaż, że a² + 4b² ≥ 4ab dla dowolnych liczb rzeczywistych

Krok 1. Założenia i teza. Założenie: $a, b \in \mathbb{R}$ (bez żadnych warunków znaku). Teza: $a^2 + 4b^2 \ge 4ab$.

Krok 2. Różnica obu stron. Badamy znak różnicy $L - P$:

$a^2 + 4b^2 - 4ab = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2.$

Krok 3. Wzór skróconego mnożenia. To rozwinięcie kwadratu różnicy liczb $a$ i $2b$:

$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2.$

Krok 4. Wniosek. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc $(a - 2b)^2 \ge 0$, czyli $a^2 + 4b^2 - 4ab \ge 0$ i $a^2 + 4b^2 \ge 4ab$. $\blacksquare$

Krok 5. Kiedy równość. Gdy $(a - 2b)^2 = 0$, czyli $a = 2b$. Np. dla $a = 6$, $b = 3$: $36 + 36 = 72 = 4 \cdot 6 \cdot 3$.

To samo wynika od razu z wniosku $x^2 + y^2 \ge 2xy$, w którym podstawiamy $x = a$, $y = 2b$: $a^2 + (2b)^2 \ge 2 \cdot a \cdot 2b$.

Uwaga: dodatniość liczb nie jest tu potrzebna - nie korzystamy z nierówności między średnimi, tylko z tego, że kwadrat jest nieujemny. Dla $a = -2$, $b = 1$: $4 + 4 = 8 \ge -8$.

Odpowiedź. Różnica $a^2 + 4b^2 - 4ab$ jest równa $(a - 2b)^2 \ge 0$, co kończy dowód; równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 2b$.