Wykaż, że (x + 4)²/x ≥ 16 dla x > 0

Sposób 1 - metoda różnicy.

Krok 1. Wspólny mianownik. Odejmujemy $16$ zapisane jako $\dfrac{16x}{x}$:

$\frac{(x + 4)^2}{x} - 16 = \frac{(x + 4)^2 - 16x}{x} = \frac{x^2 + 8x + 16 - 16x}{x} = \frac{x^2 - 8x + 16}{x}.$

Krok 2. Kwadrat w liczniku. $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$, więc

$\frac{(x + 4)^2}{x} - 16 = \frac{(x - 4)^2}{x}.$

Krok 3. Znak. Licznik jest kwadratem, czyli jest nieujemny, a mianownik $x$ jest dodatni z założenia. Iloraz liczby nieujemnej przez dodatnią jest nieujemny, więc różnica jest nieujemna i teza zachodzi. $\blacksquare$

Sposób 2 - średnie. Dzielimy każdy składnik licznika przez $x$:

$\frac{(x + 4)^2}{x} = \frac{x^2 + 8x + 16}{x} = x + \frac{16}{x} + 8.$

Liczby $x$ i $\tfrac{16}{x}$ są dodatnie, a ich iloczyn wynosi $16$, więc $x + \tfrac{16}{x} \ge 2\sqrt{16} = 8$. Stąd całość jest nie mniejsza niż $8 + 8 = 16$. $\blacksquare$

Krok 4. Kiedy równość. Gdy $(x - 4)^2 = 0$, czyli $x = 4$: $\tfrac{8^2}{4} = \tfrac{64}{4} = 16$.

Uwaga: założenie $x > 0$ jest konieczne. Dla $x = -1$ lewa strona to $\tfrac{9}{-1} = -9 < 16$ - mianownik ujemny odwraca znak różnicy z kroku 2.

Odpowiedź. Dla $x > 0$ różnica obu stron równa się $\dfrac{(x - 4)^2}{x} \ge 0$, więc nierówność jest prawdziwa; równość zachodzi tylko dla $x = 4$.