Wykaż, że jeśli ab = 4, to (1 + a)(1 + b) ≥ 9 (a, b > 0)

Krok 1. Wymnażamy nawiasy i korzystamy z warunku.

$(1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab = 1 + a + b + 4 = 5 + (a + b).$

Teza jest więc równoważna nierówności $a + b \ge 4$.

Krok 2. Nierówność między średnimi. Liczby $a$ i $b$ są dodatnie, więc

$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} = \sqrt{4} = 2, \qquad \text{czyli} \qquad a + b \ge 4.$

Krok 3. Wniosek. $(1 + a)(1 + b) = 5 + (a + b) \ge 5 + 4 = 9$. $\blacksquare$

Krok 4. Kiedy równość. Gdy $a = b$, a z $ab = 4$ i dodatniości: $a = b = 2$. Sprawdzenie: $3 \cdot 3 = 9$.

Dla innych liczb o iloczynie $4$ wynik jest większy, np. $a = 1$, $b = 4$: $2 \cdot 5 = 10$; $a = \tfrac{1}{2}$, $b = 8$: $\tfrac{3}{2} \cdot 9 = 13{,}5$.

Krok 5. Ten sam krok metodą różnicy. Jeżeli ktoś woli nie używać średnich: $a + b - 4 = a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ (bo $2\sqrt{ab} = 2\sqrt{4} = 4$).

Uwaga: kuszące jest oszacowanie każdego nawiasu osobno, $1 + a \ge 2\sqrt{a}$ i $1 + b \ge 2\sqrt{b}$. Pomnożenie stronami (wolno, bo strony są dodatnie) daje $(1 + a)(1 + b) \ge 4\sqrt{ab} = 8$ - prawdę, ale za słabą, żeby dowieść tezy. Równość w tych oszacowaniach wymaga $a = b = 1$, a to kłóci się z warunkiem $ab = 4$. Gdy równość jest nieosiągalna, oszacowanie da się poprawić.

Odpowiedź. $(1 + a)(1 + b) = 5 + a + b \ge 5 + 2\sqrt{ab} = 9$; równość zachodzi tylko dla $a = b = 2$.