Wykaż, że a³ + b³ ≥ a²b + ab² dla liczb dodatnich

Krok 1. Różnica obu stron.

$a^3 + b^3 - a^2 b - a b^2.$

Krok 2. Grupowanie wyrazów. Łączymy pierwszy wyraz z trzecim, a drugi z czwartym:

$(a^3 - a^2 b) + (b^3 - a b^2) = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)(a^2 - b^2).$

Uwaga na znak w drugim nawiasie: $b^3 - ab^2 = b^2(b - a) = -b^2(a - b)$.

Krok 3. Wzór skróconego mnożenia. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, więc

$a^3 + b^3 - a^2 b - a b^2 = (a - b)^2(a + b).$

Krok 4. Znak. $(a - b)^2 \ge 0$ jak każdy kwadrat, a $a + b > 0$, bo obie liczby są dodatnie. Iloczyn jest nieujemny, więc $a^3 + b^3 \ge a^2 b + ab^2$. $\blacksquare$

Krok 5. Kiedy równość. Gdy $(a - b)^2 = 0$, czyli $a = b$. Np. $a = b = 2$: $8 + 8 = 16 = 8 + 8$.

Sprawdzenie na liczbach różnych: $a = 3$, $b = 1$ daje $27 + 1 = 28 \ge 9 + 3 = 12$.

Krok 6. Które założenie jest potrzebne. Z rozkładu widać, że wystarczy $a + b \ge 0$ - liczby nie muszą być dodatnie (np. $a = 2$, $b = -1$: $8 - 1 = 7 \ge -4 + 2 = -2$). Gdy jednak $a + b < 0$, nierówność może nie zachodzić: dla $a = -1$, $b = 0$ lewa strona to $-1$, a prawa $0$.

Ten sam rozkład można zapisać inaczej: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ i $a^2 b + ab^2 = ab(a + b)$, więc różnica to $(a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$ - wynik ten sam.

Odpowiedź. Różnica obu stron równa się $(a - b)^2(a + b)$, a to jest nieujemne dla $a, b > 0$; równość zachodzi tylko dla $a = b$.