Wykaż, że jeśli a + b = 1, to a² + b² ≥ 1/2

Sposób 1 - jedna zmienna.

Krok 1. Podstawienie. Z warunku $b = 1 - a$, więc

$a^2 + b^2 = a^2 + (1 - a)^2 = a^2 + 1 - 2a + a^2 = 2a^2 - 2a + 1.$

Krok 2. Różnica i postać kanoniczna.

$a^2 + b^2 - \frac{1}{2} = 2a^2 - 2a + \frac{1}{2} = 2\left(a^2 - a + \frac{1}{4}\right) = 2\left(a - \frac{1}{2}\right)^2.$

Krok 3. Wniosek. Kwadrat jest nieujemny, więc różnica jest nieujemna i $a^2 + b^2 \ge \tfrac{1}{2}$. $\blacksquare$

Sposób 2 - bez podstawiania. Dla dowolnych $a, b$:

$2(a^2 + b^2) - (a + b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \ge 0.$

Zatem $a^2 + b^2 \ge \dfrac{(a + b)^2}{2} = \dfrac{1^2}{2} = \dfrac{1}{2}$. $\blacksquare$

To nierówność między średnią kwadratową a arytmetyczną: $\sqrt{\tfrac{a^2 + b^2}{2}} \ge \tfrac{a + b}{2}$, tyle że zapisana bez pierwiastka - dzięki temu działa dla wszystkich liczb rzeczywistych, także ujemnych.

Krok 4. Kiedy równość. Gdy $a = b$ (sposób 2) albo $a = \tfrac{1}{2}$ (sposób 1); z warunku $a + b = 1$ wychodzi $a = b = \tfrac{1}{2}$: $\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}$.

Uwaga: założenie $a, b > 0$ nie jest potrzebne. Dla $a = 3$, $b = -2$: $9 + 4 = 13 \ge \tfrac{1}{2}$. Dlatego oba dowody opierają się na kwadracie, a nie na nierówności $\tfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$, która wymaga liczb nieujemnych.

Odpowiedź. Z warunku $a + b = 1$ wynika $a^2 + b^2 - \tfrac{1}{2} = 2\left(a - \tfrac{1}{2}\right)^2 \ge 0$; równość zachodzi tylko dla $a = b = \tfrac{1}{2}$.