Wyznacz a i b we wzorze f(x) = a·sin(bx) na podstawie wykresu

Krok 1. Okres z wykresu. Odczytujemy miejsca zerowe: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$. Od $0$ do $\pi$ wykres przechodzi pełną falę (dolinę i garb), a dalej powtarza ten sam kształt. Okres to $T = \pi$.

Krok 2. Parametr $b$. Funkcja $y = a\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{|b|}$, a $b > 0$:

$\frac{2\pi}{b} = \pi \qquad \Longrightarrow \qquad b = 2.$

Krok 3. Parametr $a$. Podstawiamy punkt $\left(\frac{\pi}{4}, -2\right)$ do wzoru $f(x) = a\sin 2x$:

$a \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = a\sin\frac{\pi}{2} = a = -2.$

Krok 4. Sprawdzenie drugim punktem. Z wykresu najwyższy punkt leży w $x = \frac{3\pi}{4}$ na wysokości $2$. Wzór daje

$f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -2\sin\frac{3\pi}{2} = -2 \cdot (-1) = 2.$

Zgadza się.

Krok 5. Okres i zbiór wartości. Okres podstawowy $\pi$. Ponieważ $-1 \le \sin 2x \le 1$, po pomnożeniu przez $-2$ dostajemy $-2 \le f(x) \le 2$, więc zbiór wartości to $\langle -2;\ 2\rangle$.

Uwaga: dwa typowe błędy. Odpowiedź $a = 2$ pomija to, że zaraz za zerem wykres idzie w dół (a $y = 2\sin 2x$ szedłby w górę). Odpowiedź $b = \frac{1}{2}$ bierze się z pomylenia ściśnięcia z rozciągnięciem: okres $\pi$ jest krótszy niż $2\pi$, więc wykres jest ściśnięty, a $b > 1$. Bez warunku $b > 0$ wzór $f(x) = 2\sin(-2x)$ opisywałby ten sam wykres - dlatego zadanie go podaje.

Odpowiedź. $a = -2$, $b = 2$, czyli $f(x) = -2\sin 2x$; okres podstawowy $\pi$, zbiór wartości $\langle -2;\ 2\rangle$.