Liczba rozwiązań równania sin x = m w przedziale ⟨0; 3π/2⟩

Krok 1. Metoda. Rozwiązania równania $\sin x = m$ to pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu $y = \sin x$ (tylko dla $x \in \left\langle 0;\ \frac{3\pi}{2}\right\rangle$) i prostej poziomej $y = m$. Przesuwamy tę prostą od góry do dołu i liczymy punkty wspólne.

Krok 2. Przebieg wykresu w tym przedziale. Sinus rośnie od $0$ do $1$ w $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2}\right\rangle$, a potem maleje od $1$ do $-1$ w $\left\langle \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right\rangle$, mijając zero w $x = \pi$. Końce wykresu to $(0, 0)$ oraz $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ - oba należą do wykresu, bo przedział jest domknięty.

Krok 3. Przypadki.

• $m > 1$ lub $m < -1$: prosta omija wykres - brak rozwiązań.
• $m = 1$: prosta dotyka szczytu - jedno rozwiązanie, $x = \frac{\pi}{2}$.
• $0 \le m < 1$: prosta przecina rosnący kawałek w $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2}\right)$ i malejący w $\left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right\rangle$ - dwa rozwiązania. Dla $m = 0$ są to $x = 0$ i $x = \pi$ (liczba $2\pi$ leży już poza przedziałem).
• $-1 \le m < 0$: wartości ujemne sinus przyjmuje tylko w $\left(\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right\rangle$, gdzie maleje - jedno rozwiązanie. Dla $m = -1$ to koniec przedziału, $x = \frac{3\pi}{2}$.

Krok 4. Sprawdzenie przykładami z rysunku. Dla $m = 0{,}6$ prosta przecina wykres dwa razy, dla $m = -0{,}5$ - raz (w $x = \frac{7\pi}{6}$, bo $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$).

Uwaga: przy parametrze najłatwiej pomylić się na granicach. Tu są nimi $m = 1$ (styczność - jedno rozwiązanie zamiast dwóch), $m = 0$ (oba końce przedziału na osi $OX$) i $m = -1$ (rozwiązanie w końcu przedziału, które istnieje tylko dzięki temu, że przedział jest domknięty).

Odpowiedź. Równanie nie ma rozwiązań dla $m \in (-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)$, ma jedno rozwiązanie dla $m \in \langle -1;\ 0) \cup \{1\}$ i dwa rozwiązania dla $m \in \langle 0;\ 1)$.