Wykres y = 2cos x - zbiór wartości i nierówność 2cos x ≥ 1

Krok 1. Przekształcenie. Mnożymy wartości cosinusa przez $2$ - wykres rozciąga się dwukrotnie w pionie. Punkty kluczowe cosinusoidy:

$(0, 1) \to (0, 2), \quad \left(\tfrac{\pi}{2}, 0\right) \to \left(\tfrac{\pi}{2}, 0\right), \quad (\pi, -1) \to (\pi, -2), \quad \left(\tfrac{3\pi}{2}, 0\right) \to \left(\tfrac{3\pi}{2}, 0\right), \quad (2\pi, 1) \to (2\pi, 2).$

Miejsca zerowe się nie ruszają - zero razy dwa to nadal zero.

Krok 2. a) Zbiór wartości i miejsca zerowe. Wykres mieści się między $-2$ i $2$ i osiąga obie wartości (dla $x = \pi$ oraz $x = 0$, $x = 2\pi$), więc zbiór wartości to $\langle -2;\ 2\rangle$. Miejsca zerowe to $x = \frac{\pi}{2}$ i $x = \frac{3\pi}{2}$.

Krok 3. b) Równanie $2\cos x = 1$. Dzielimy przez $2$: $\cos x = \frac{1}{2}$. Pierwsze rozwiązanie znamy z tabeli: $x = \frac{\pi}{3}$. Cosinusoida jest symetryczna względem prostej $x = \pi$, więc drugie rozwiązanie leży w tej samej odległości od $2\pi$:

$x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.$

Krok 4. c) Nierówność $2\cos x \ge 1$. Szukamy fragmentów wykresu leżących na lub nad prostą $y = 1$. Na rysunku to dwa kawałki: od $0$ do $\frac{\pi}{3}$ oraz od $\frac{5\pi}{3}$ do $2\pi$. Nierówność jest nieostra, więc punkty przecięcia należą do rozwiązania.

Uwaga: odpowiedź $\left\langle \frac{\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3}\right\rangle$ to błąd - to są argumenty, dla których $2\cos x \le 1$.

Odpowiedź. a) Zbiór wartości $\langle -2;\ 2\rangle$, miejsca zerowe $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$; b) $x \in \left\{ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3} \right\}$; c) $x \in \left\langle 0;\ \frac{\pi}{3}\right\rangle \cup \left\langle \frac{5\pi}{3};\ 2\pi\right\rangle$.