Wykres y = sin(x + π/4) - przesunięcie, monotoniczność i miejsca zerowe

Krok 1. a) Przekształcenie. Wzór $y = f(x - p)$ oznacza przesunięcie o $p$ w prawo. Tutaj $x + \frac{\pi}{4} = x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)$, więc $p = -\frac{\pi}{4}$: wykres sinusa przesuwamy o $\frac{\pi}{4}$ w lewo.

Uwaga: plus w nawiasie przesuwa wykres w lewo, nie w prawo - to najczęstszy błąd przy tym typie.

Krok 2. a) Okres i zbiór wartości. Przesunięcie w poziomie nie zmienia ani kształtu fali, ani jej wysokości: okres to $2\pi$, zbiór wartości $\langle -1;\ 1\rangle$.

Krok 3. b) Punkty kluczowe. Od każdej pierwszej współrzędnej odejmujemy $\frac{\pi}{4}$:

$\left(\tfrac{\pi}{2}, 1\right) \to \left(\tfrac{\pi}{4}, 1\right), \quad (\pi, 0) \to \left(\tfrac{3\pi}{4}, 0\right), \quad \left(\tfrac{3\pi}{2}, -1\right) \to \left(\tfrac{5\pi}{4}, -1\right), \quad (2\pi, 0) \to \left(\tfrac{7\pi}{4}, 0\right).$

Krok 4. b) Miejsca zerowe - z warunku $x + \frac{\pi}{4} = k\pi$, czyli $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$. W przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$: $x = \frac{3\pi}{4}$ ($k = 1$) i $x = \frac{7\pi}{4}$ ($k = 2$).

Krok 5. b) Wartości skrajne. Największa wartość $1$ dla $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, czyli $x = \frac{\pi}{4}$. Najmniejsza $-1$ dla $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$, czyli $x = \frac{5\pi}{4}$.

Krok 6. b) Monotoniczność. Między szczytem a doliną wykres opada, poza tym rośnie. Na początku przedziału $f(0) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, a na końcu też $f(2\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, więc:

• rośnie w $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{4}\right\rangle$ oraz w $\left\langle \frac{5\pi}{4};\ 2\pi\right\rangle$,
• maleje w $\left\langle \frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4}\right\rangle$.

Odpowiedź. a) Przesunięcie wykresu $y = \sin x$ o $\frac{\pi}{4}$ w lewo; okres $2\pi$, zbiór wartości $\langle -1;\ 1\rangle$. b) Miejsca zerowe $\frac{3\pi}{4}$ i $\frac{7\pi}{4}$; wartość największa $1$ dla $x = \frac{\pi}{4}$, najmniejsza $-1$ dla $x = \frac{5\pi}{4}$; $f$ rośnie w $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{4}\right\rangle$ i $\left\langle \frac{5\pi}{4};\ 2\pi\right\rangle$, maleje w $\left\langle \frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4}\right\rangle$.