Wykres y = |sin x| - okres, zbiór wartości i równanie |sin x| = ½

Krok 1. Jak powstaje wykres. Wartość bezwzględna nie zmienia liczb nieujemnych, a ujemne zamienia na przeciwne. Część sinusoidy nad osią $OX$ (od $0$ do $\pi$) zostaje, a część pod osią (od $\pi$ do $2\pi$) odbijamy symetrycznie nad oś.

Krok 2. a) Zbiór wartości. Po odbiciu wykres leży między $0$ i $1$ i osiąga obie wartości (np. $f(\pi) = 0$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$). Zbiór wartości: $\langle 0;\ 1\rangle$.

Krok 3. a) Okres. Po odbiciu „dolnego garbu” oba garby są jednakowe, więc wykres powtarza się już co $\pi$. Rachunkiem:

$f(x + \pi) = |\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = f(x).$

Mniejszego okresu nie ma: $f$ jest równa zeru tylko w punktach $k\pi$, które dzieli właśnie odległość $\pi$.

Uwaga: okres sinusa to $2\pi$, ale okres $|\sin x|$ to $\pi$ - wartość bezwzględna go skraca.

Krok 4. b) Rozbijamy równanie. $|\sin x| = \frac{1}{2}$ oznacza $\sin x = \frac{1}{2}$ lub $\sin x = -\frac{1}{2}$.

• $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = \frac{\pi}{6}$ lub $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
• $\sin x = -\frac{1}{2}$ (III i IV ćwiartka): $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ lub $x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Na rysunku prosta $y = \frac{1}{2}$ przecina każdy z dwóch garbów dwa razy - razem cztery punkty.

Odpowiedź. a) Zbiór wartości $\langle 0;\ 1\rangle$, okres podstawowy $\pi$. b) Cztery rozwiązania: $x \in \left\{ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} \right\}$.