Wykres funkcji f(x) = sin x + 1 - zbiór wartości i miejsca zerowe

Krok 1. Rozpoznajemy przekształcenie. Dodanie liczby $1$ do wartości funkcji to przesunięcie wykresu $y = \sin x$ o $1$ w górę (wzdłuż osi $OY$). Argumenty się nie zmieniają.

Krok 2. Przesuwamy punkty kluczowe sinusoidy. Każdej drugiej współrzędnej dodajemy $1$:

$(-\pi, 0) \to (-\pi, 1), \quad \left(-\tfrac{\pi}{2}, -1\right) \to \left(-\tfrac{\pi}{2}, 0\right), \quad (0, 0) \to (0, 1), \quad \left(\tfrac{\pi}{2}, 1\right) \to \left(\tfrac{\pi}{2}, 2\right),$

$(\pi, 0) \to (\pi, 1), \quad \left(\tfrac{3\pi}{2}, -1\right) \to \left(\tfrac{3\pi}{2}, 0\right), \quad (2\pi, 0) \to (2\pi, 1).$

Łączymy je gładką falą.

Krok 3. a) Zbiór wartości. Fala sinusa mieści się między $-1$ i $1$, więc po przesunięciu - między $0$ i $2$. W przedziale $\langle -\pi;\ 2\pi\rangle$ obie skrajne wartości są osiągane (dla $x = \frac{3\pi}{2}$ i $x = \frac{\pi}{2}$), więc zbiór wartości to $\langle 0;\ 2\rangle$.

Krok 4. b) Miejsca zerowe. Wykres dotyka osi $OX$ w najniższych punktach:

$\sin x + 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin x = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{\pi}{2} \ \text{ lub } \ x = \frac{3\pi}{2}.$

Krok 5. c) Nierówność $f(x) > 1$. To znaczy $\sin x > 0$ - wykres $f$ leży nad prostą $y = 1$. W przedziale $\langle -\pi;\ 2\pi\rangle$ dzieje się to tylko między $0$ a $\pi$. Końce odpadają, bo tam $f(x) = 1$, a nierówność jest ostra.

Odpowiedź. a) $\langle 0;\ 2\rangle$; b) $x = -\frac{\pi}{2}$ i $x = \frac{3\pi}{2}$; c) $x \in (0;\ \pi)$.