Wykres y = −tg x - asymptoty, monotoniczność i równanie −tg x = 1

Krok 1. Przekształcenie. Wzór $y = -f(x)$ oznacza odbicie wykresu względem osi $OX$: każdy punkt $(x, y)$ tangensoidy przechodzi w $(x, -y)$. Punkt $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ przechodzi w $\left(\frac{\pi}{4}, -1\right)$, a punkty $(k\pi, 0)$ zostają na miejscu.

Krok 2. a) Dziedzina i asymptoty. Odbicie względem osi $OX$ nie zmienia argumentów, więc dziedzina jest taka jak tangensa: wykluczamy $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. W rozważanym przedziale wypada tylko $x = \frac{\pi}{2}$, więc dziedzina to $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)$. Asymptoty pionowe: $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$.

Krok 3. b) Monotoniczność. Tangens rośnie w każdym przedziale między asymptotami, więc po odbiciu $-\operatorname{tg} x$ maleje w każdym z nich: w $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ i osobno w $\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)$.

Uwaga: funkcja nie jest malejąca w całej sumie tych przedziałów. Na przykład $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$, a $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$, choć $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{4}$.

Krok 4. c) Równanie. $-\operatorname{tg} x = 1 \iff \operatorname{tg} x = -1$. Tangens jest nieparzysty, więc $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, a pozostałe rozwiązania leżą co okres $\pi$:

$x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

W przedziale $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)$ mieszczą się $x = -\frac{\pi}{4}$ ($k = 0$) i $x = \frac{3\pi}{4}$ ($k = 1$). Na rysunku prosta $y = 1$ przecina każdą z dwóch gałęzi dokładnie raz.

Odpowiedź. a) Dziedzina $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)$, asymptoty $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$. b) Funkcja maleje w $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ i w $\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)$. c) $x \in \left\{ -\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4} \right\}$.