Dzielenie wielomianu 6x³ − 7x² + 6x + 1 przez 2x − 1

Dzielimy tak samo jak przez $x - a$, tylko kolejne wyrazy dzielimy przez $2x$, a nie przez $x$:

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-6x^3}\mathllap{}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{3x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{-\,2x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,2}}\phantom{\;:\;(2x - 1)} \\ \phantom{-6x^3}\mathllap{6x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{-\,7x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{+\,6x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,1}\;:\;(2x - 1) \\ \underline{\phantom{-6x^3}\mathllap{-6x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{+\,3x^2}}\;\phantom{-\,2x}\;\phantom{+\,2}\phantom{\;:\;(2x - 1)} \\ \phantom{-6x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{-4x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{+\,6x}\;\phantom{+\,2}\phantom{\;:\;(2x - 1)} \\ \phantom{-6x^3}\;\underline{\phantom{-\,7x^2}\mathllap{4x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{-\,2x}}\;\phantom{+\,2}\phantom{\;:\;(2x - 1)} \\ \phantom{-6x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{4x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,1}\phantom{\;:\;(2x - 1)} \\ \phantom{-6x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\;\underline{\phantom{-\,2x}\mathllap{-4x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,2}}\phantom{\;:\;(2x - 1)} \\ \phantom{-6x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\;\phantom{-\,2x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{3}\phantom{\;:\;(2x - 1)} \end{array}$

Krok 1. $6x^3 : 2x = 3x^2$. Iloczyn $3x^2(2x - 1) = 6x^3 - 3x^2$ zapisujemy jako $-6x^3 + 3x^2$. Zostaje $-7x^2 + 3x^2 = -4x^2$, dopisujemy $+6x$.

Krok 2. $-4x^2 : 2x = -2x$. Iloczyn $-2x(2x - 1) = -4x^2 + 2x$ zapisujemy jako $4x^2 - 2x$. Zostaje $6x - 2x = 4x$, dopisujemy $+1$.

Krok 3. $4x : 2x = 2$. Iloczyn $2(2x - 1) = 4x - 2$ zapisujemy jako $-4x + 2$. Zostaje $1 + 2 = 3$.

Krok 4. Sprawdzenie.

$(2x - 1)(3x^2 - 2x + 2) + 3 = 6x^3 - 4x^2 + 4x - 3x^2 + 2x - 2 + 3 = 6x^3 - 7x^2 + 6x + 1.$

Krok 5. Kontrola reszty. Dzielnik $2x - 1$ zeruje się dla $x = \frac{1}{2}$, więc reszta to $W\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{6}{8} - \frac{7}{4} + 3 + 1 = 3$.

Uwaga: dzieląc przez $x - \frac{1}{2}$ (np. schematem Hornera) dostaniemy tę samą resztę, ale dwa razy większy iloraz: $W(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)(6x^2 - 4x + 4) + 3$. Żeby wrócić do dzielnika $2x - 1$, iloraz trzeba podzielić przez $2$.

Odpowiedź. $Q(x) = 3x^2 - 2x + 2$, $R = 3$:

$6x^3 - 7x^2 + 6x + 1 = (2x - 1)(3x^2 - 2x + 2) + 3.$