Dzielenie z resztą: 2x³ − 3x² + 4x − 1 przez x + 1

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-2x^3}\mathllap{}\;\phantom{-\,3x^2}\mathllap{2x^2}\;\phantom{-\,5x}\mathllap{-\,5x}\;\phantom{-10}\mathllap{+\,9}}\phantom{\;:\;(x + 1)} \\ \phantom{-2x^3}\mathllap{2x^3}\;\phantom{-\,3x^2}\mathllap{-\,3x^2}\;\phantom{-\,5x}\mathllap{+\,4x}\;\phantom{-10}\mathllap{-\,1}\;:\;(x + 1) \\ \underline{\phantom{-2x^3}\mathllap{-2x^3}\;\phantom{-\,3x^2}\mathllap{-\,2x^2}}\;\phantom{-\,5x}\;\phantom{-10}\phantom{\;:\;(x + 1)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{-\,3x^2}\mathllap{-5x^2}\;\phantom{-\,5x}\mathllap{+\,4x}\;\phantom{-10}\phantom{\;:\;(x + 1)} \\ \phantom{-2x^3}\;\underline{\phantom{-\,3x^2}\mathllap{5x^2}\;\phantom{-\,5x}\mathllap{+\,5x}}\;\phantom{-10}\phantom{\;:\;(x + 1)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{-\,3x^2}\;\phantom{-\,5x}\mathllap{9x}\;\phantom{-10}\mathllap{-\,1}\phantom{\;:\;(x + 1)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{-\,3x^2}\;\underline{\phantom{-\,5x}\mathllap{-9x}\;\phantom{-10}\mathllap{-\,9}}\phantom{\;:\;(x + 1)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{-\,3x^2}\;\phantom{-\,5x}\;\phantom{-10}\mathllap{-10}\phantom{\;:\;(x + 1)} \end{array}$

Krok 1. $2x^3 : x = 2x^2$. Iloczyn $2x^2(x + 1) = 2x^3 + 2x^2$ zapisujemy z przeciwnymi znakami: $-2x^3 - 2x^2$. Po dodaniu: $-3x^2 - 2x^2 = -5x^2$, dopisujemy $+4x$.

Krok 2. $-5x^2 : x = -5x$. Iloczyn $-5x(x + 1) = -5x^2 - 5x$ zapisujemy jako $5x^2 + 5x$. Po dodaniu: $4x + 5x = 9x$, dopisujemy $-1$.

Krok 3. $9x : x = 9$. Iloczyn $9(x + 1) = 9x + 9$ zapisujemy jako $-9x - 9$. Zostaje $-1 - 9 = -10$ - liczba, czyli stopień $0$, mniejszy od stopnia dzielnika. Koniec.

Krok 4. Sprawdzenie mnożeniem.

$(x + 1)(2x^2 - 5x + 9) - 10 = 2x^3 - 5x^2 + 9x + 2x^2 - 5x + 9 - 10 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1.$

Krok 5. Sprawdzenie reszty. Reszta z dzielenia przez $x + 1 = x - (-1)$ to $W(-1)$ (twierdzenie Bézouta): $W(-1) = -2 - 3 - 4 - 1 = -10$. Zgadza się.

Uwaga: w kroku 2 dzielimy liczbę ujemną: $-5x^2 : x = -5x$, a iloczyn $-5x \cdot 1 = -5x$ po zmianie znaku daje $+5x$. Błąd znaku w tym miejscu psuje całą resztę rachunku.

Odpowiedź. $Q(x) = 2x^2 - 5x + 9$, $R = -10$:

$2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = (x + 1)(2x^2 - 5x + 9) - 10.$