Wyznacz a i b, gdy reszta z dzielenia x⁴ + 3x³ − x² + ax + b przez x² + x − 1 to 5x − 3

Krok 1. Dzielimy z parametrami. Parametry stoją tylko w dwóch ostatnich kolumnach, więc dzielenie przebiega zwyczajnie - $a$ i $b$ tylko „przenosimy” w dół:

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,2x}\;\phantom{+\,(b-2)}\mathllap{-\,2}} \\ \phantom{-x^4}\mathllap{x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{+\,3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-\,x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,ax}\;\phantom{+\,(b-2)}\mathllap{+\,b} \\ \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{-\,x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,x^2}}\;\phantom{+\,(a+2)x}\;\phantom{+\,(b-2)} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,0x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,ax}\;\phantom{+\,(b-2)} \\ \phantom{-x^4}\;\underline{\phantom{+\,3x^3}\mathllap{-2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-\,2x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,2x}}\;\phantom{+\,(b-2)} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-2x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,(a+2)x}\;\phantom{+\,(b-2)}\mathllap{+\,b} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\underline{\phantom{+\,0x^2}\mathllap{2x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,2x}\;\phantom{+\,(b-2)}\mathllap{-\,2}} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{(a+4)x}\;\phantom{+\,(b-2)}\mathllap{+\,(b-2)} \end{array}$

Krok 2. Kolejne wyrazy ilorazu.

• $x^4 : x^2 = x^2$; odejmujemy $x^2(x^2 + x - 1) = x^4 + x^3 - x^2$, zostaje $2x^3 + 0x^2$, dopisujemy $ax$;
• $2x^3 : x^2 = 2x$; odejmujemy $2x(x^2 + x - 1) = 2x^3 + 2x^2 - 2x$, zostaje $-2x^2 + (a + 2)x$, dopisujemy $b$;
• $-2x^2 : x^2 = -2$; odejmujemy $-2(x^2 + x - 1) = -2x^2 - 2x + 2$, zostaje $(a + 4)x + (b - 2)$.

Iloraz to $Q(x) = x^2 + 2x - 2$, a reszta $R(x) = (a + 4)x + (b - 2)$.

Krok 3. Porównujemy resztę z podaną. Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki:

$\begin{cases} a + 4 = 5 \\ b - 2 = -3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad a = 1,\ b = -1.$

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $a = 1$, $b = -1$ mamy $W(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 + x - 1$, a

$(x^2 + x - 1)(x^2 + 2x - 2) + 5x - 3 = x^4 + 3x^3 - x^2 - 4x + 2 + 5x - 3 = x^4 + 3x^3 - x^2 + x - 1.$

Uwaga: przy odejmowaniu $-2x$ w drugim kroku do kolumny z $ax$ trafia $+2x$, więc współczynnik wynosi $a + 2$, a nie $a - 2$. Każdy błąd znaku przenosi się tu wprost na wartości parametrów.

Odpowiedź. $a = 1$, $b = -1$.