Podziel wielomian x³ + 2x² − 5x − 6 przez x − 2

Schemat dzielenia pisemnego (iloraz nad kreską, dzielna pod nią):

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-x^3}\mathllap{}\;\phantom{+\,2x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{+\,4x}\;\phantom{+\,3}\mathllap{+\,3}}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\mathllap{x^3}\;\phantom{+\,2x^2}\mathllap{+\,2x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{-\,5x}\;\phantom{+\,3}\mathllap{-\,6}\;:\;(x - 2) \\ \underline{\phantom{-x^3}\mathllap{-x^3}\;\phantom{+\,2x^2}\mathllap{+\,2x^2}}\;\phantom{+\,4x}\;\phantom{+\,3}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{+\,2x^2}\mathllap{4x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{-\,5x}\;\phantom{+\,3}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\underline{\phantom{+\,2x^2}\mathllap{-4x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{+\,8x}}\;\phantom{+\,3}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{+\,2x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{3x}\;\phantom{+\,3}\mathllap{-\,6}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{+\,2x^2}\;\underline{\phantom{+\,4x}\mathllap{-3x}\;\phantom{+\,3}\mathllap{+\,6}}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{+\,2x^2}\;\phantom{+\,4x}\;\phantom{+\,3}\mathllap{0}\phantom{\;:\;(x - 2)} \end{array}$

Krok 1. $x^3 : x = x^2$. Mnożymy $x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$ i zapisujemy pod dzielną z przeciwnymi znakami: $-x^3 + 2x^2$. Po dodaniu zostaje $4x^2$, dopisujemy $-5x$.

Krok 2. $4x^2 : x = 4x$. Iloczyn $4x(x - 2) = 4x^2 - 8x$ zapisujemy jako $-4x^2 + 8x$. Zostaje $3x$, dopisujemy $-6$.

Krok 3. $3x : x = 3$. Iloczyn $3(x - 2) = 3x - 6$ zapisujemy jako $-3x + 6$. Zostaje $0$.

Krok 4. Sprawdzenie. Mnożymy dzielnik przez iloraz:

$(x - 2)(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x - 2x^2 - 8x - 6 = x^3 + 2x^2 - 5x - 6.$

Krok 5. Rozkład na czynniki. Iloraz $x^2 + 4x + 3$ ma pierwiastki $-1$ i $-3$, więc $x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$, a cały wielomian to $W(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3)$.

Odpowiedź. $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x - 2)(x^2 + 4x + 3)$. Reszta jest zerowa, więc $W$ jest podzielny przez $x - 2$.