Dzielenie przez trójmian: x⁴ + x³ − 7x² − x + 6 przez x² − x − 2

Dzielnik ma stopień $2$, więc iloraz będzie stopnia $4 - 2 = 2$, a reszta - stopnia co najwyżej $1$. Iloczyn w każdym kroku zajmuje trzy kolumny:

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{}\;\phantom{-2x^3}\mathllap{}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{+\,2x}\mathllap{+\,2x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{-\,3}} \\ \phantom{-x^4}\mathllap{x^4}\;\phantom{-2x^3}\mathllap{+\,x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{-\,7x^2}\;\phantom{+\,2x}\mathllap{-\,x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{+\,6} \\ \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{-x^4}\;\phantom{-2x^3}\mathllap{+\,x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{+\,2x^2}}\;\phantom{+\,2x}\;\phantom{-\,3} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{-2x^3}\mathllap{2x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{-\,5x^2}\;\phantom{+\,2x}\mathllap{-\,x}\;\phantom{-\,3} \\ \phantom{-x^4}\;\underline{\phantom{-2x^3}\mathllap{-2x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{+\,2x^2}\;\phantom{+\,2x}\mathllap{+\,4x}}\;\phantom{-\,3} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{-2x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\mathllap{-3x^2}\;\phantom{+\,2x}\mathllap{+\,3x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{+\,6} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{-2x^3}\;\underline{\phantom{-\,7x^2}\mathllap{3x^2}\;\phantom{+\,2x}\mathllap{-\,3x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{-\,6}} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{-2x^3}\;\phantom{-\,7x^2}\;\phantom{+\,2x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{0} \end{array}$

Krok 1. $x^4 : x^2 = x^2$. Iloczyn $x^2(x^2 - x - 2) = x^4 - x^3 - 2x^2$ zapisujemy jako $-x^4 + x^3 + 2x^2$. Zostaje $2x^3 - 5x^2$, dopisujemy $-x$.

Krok 2. $2x^3 : x^2 = 2x$. Iloczyn $2x(x^2 - x - 2) = 2x^3 - 2x^2 - 4x$ zapisujemy jako $-2x^3 + 2x^2 + 4x$. Zostaje $-3x^2 + 3x$, dopisujemy $+6$.

Krok 3. $-3x^2 : x^2 = -3$. Iloczyn $-3(x^2 - x - 2) = -3x^2 + 3x + 6$ zapisujemy jako $3x^2 - 3x - 6$. Zostaje $0$ - reszta jest zerowa.

Krok 4. Zapis wyniku.

$x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = (x^2 - x - 2)(x^2 + 2x - 3).$

Krok 5. Rozkład na czynniki liniowe. Trójmian $x^2 - x - 2$ ma pierwiastki $2$ i $-1$, a $x^2 + 2x - 3$ - pierwiastki $1$ i $-3$. Zatem

$W(x) = (x - 2)(x + 1)(x - 1)(x + 3).$

Krok 6. Sprawdzenie. $W(1) = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$ oraz $W(2) = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0$ - liczby $1$ i $2$ rzeczywiście są pierwiastkami $W$.

Odpowiedź. $Q(x) = x^2 + 2x - 3$, reszta zerowa; $W(x) = (x - 2)(x + 1)(x - 1)(x + 3)$.