Reszta z dzielenia x⁴ + 3x³ − 2x + 5 przez x² + 1 - dzielenie pisemne

Krok 1. Uzupełniamy zerami dzielną i dzielnik. W dzielnej brakuje $x^2$, w dzielniku - $x$:

$W(x) = x^4 + 3x^3 + 0x^2 - 2x + 5, \qquad P(x) = x^2 + 0x + 1.$

Iloraz będzie stopnia $2$, a reszta - stopnia co najwyżej $1$, czyli postaci $px + q$.

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{+\,3x}\mathllap{+\,3x}\;\phantom{-\,1}\mathllap{-\,1}} \\ \phantom{-x^4}\mathllap{x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{+\,3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,0x^2}\;\phantom{+\,3x}\mathllap{-\,2x}\;\phantom{-\,1}\mathllap{+\,5} \\ \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{+\,0x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-\,x^2}}\;\phantom{+\,3x}\;\phantom{-\,1} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-\,x^2}\;\phantom{+\,3x}\mathllap{-\,2x}\;\phantom{-\,1} \\ \phantom{-x^4}\;\underline{\phantom{+\,3x^3}\mathllap{-3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,0x^2}\;\phantom{+\,3x}\mathllap{-\,3x}}\;\phantom{-\,1} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-x^2}\;\phantom{+\,3x}\mathllap{-\,5x}\;\phantom{-\,1}\mathllap{+\,5} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\underline{\phantom{+\,0x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{+\,3x}\mathllap{+\,0x}\;\phantom{-\,1}\mathllap{+\,1}} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\;\phantom{+\,3x}\mathllap{-5x}\;\phantom{-\,1}\mathllap{+\,6} \end{array}$

Krok 2. $x^4 : x^2 = x^2$. Iloczyn $x^2(x^2 + 0x + 1) = x^4 + 0x^3 + x^2$ zapisujemy z przeciwnymi znakami. Zostaje $3x^3 - x^2$, dopisujemy $-2x$.

Krok 3. $3x^3 : x^2 = 3x$. Iloczyn $3x(x^2 + 0x + 1) = 3x^3 + 0x^2 + 3x$ zapisujemy z przeciwnymi znakami. Zostaje $-x^2 - 2x - 3x = -x^2 - 5x$, dopisujemy $+5$.

Krok 4. $-x^2 : x^2 = -1$. Iloczyn $-1 \cdot (x^2 + 0x + 1) = -x^2 - 1$ zapisujemy jako $x^2 + 0x + 1$. Zostaje $-5x + 6$. Stopień reszty to $1$, mniej niż stopień dzielnika - koniec.

Krok 5. Sprawdzenie.

$(x^2 + 1)(x^2 + 3x - 1) - 5x + 6 = x^4 + 3x^3 - x^2 + x^2 + 3x - 1 - 5x + 6 = x^4 + 3x^3 - 2x + 5.$

Uwaga: pominięcie zera w dzielniku przesuwa iloczyny o kolumnę - wyraz $x^2$ z iloczynu $x^2 \cdot 1$ trafiłby pod $3x^3$. W każdym iloczynie trzeba pamiętać, że $x^2 + 1$ to trzy kolumny: $x^2$, $0x$ i $1$.

Odpowiedź. $Q(x) = x^2 + 3x - 1$, $R(x) = -5x + 6$:

$x^4 + 3x^3 - 2x + 5 = (x^2 + 1)(x^2 + 3x - 1) - 5x + 6.$