Dzielenie wielomianu z brakującymi potęgami: x⁴ − 5x² + 7 przez x + 2

Krok 1. Uzupełniamy brakujące potęgi zerami. W dzielnej nie ma $x^3$ ani $x$:

$W(x) = x^4 + 0x^3 - 5x^2 + 0x + 7.$

Bez tych zer wyrazy różnych stopni trafiłyby do jednej kolumny. Dzielimy przez $x + 2$ (dzielnik zostawiamy z boku, żeby schemat zmieścił się na ekranie):

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{}\;\phantom{+\,0x^3}\mathllap{x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\mathllap{-\,2x^2}\;\phantom{+\,0x}\mathllap{-\,x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,2}} \\ \phantom{-x^4}\mathllap{x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\mathllap{+\,0x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\mathllap{-\,5x^2}\;\phantom{+\,0x}\mathllap{+\,0x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,7} \\ \underline{\phantom{-x^4}\mathllap{-x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\mathllap{-\,2x^3}}\;\phantom{-\,2x^2}\;\phantom{+\,0x}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\mathllap{-2x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\mathllap{-\,5x^2}\;\phantom{+\,0x}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-x^4}\;\underline{\phantom{+\,0x^3}\mathllap{2x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\mathllap{+\,4x^2}}\;\phantom{+\,0x}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\mathllap{-x^2}\;\phantom{+\,0x}\mathllap{+\,0x}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\;\underline{\phantom{-\,2x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{+\,0x}\mathllap{+\,2x}}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\;\phantom{+\,0x}\mathllap{2x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,7} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\;\underline{\phantom{+\,0x}\mathllap{-2x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{-\,4}} \\ \phantom{-x^4}\;\phantom{+\,0x^3}\;\phantom{-\,2x^2}\;\phantom{+\,0x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{3} \end{array}$

Krok 2. $x^4 : x = x^3$. Iloczyn $x^3(x + 2) = x^4 + 2x^3$ zapisujemy jako $-x^4 - 2x^3$. Zostaje $0x^3 - 2x^3 = -2x^3$, dopisujemy $-5x^2$.

Krok 3. $-2x^3 : x = -2x^2$. Iloczyn $-2x^2(x + 2) = -2x^3 - 4x^2$ zapisujemy jako $2x^3 + 4x^2$. Zostaje $-5x^2 + 4x^2 = -x^2$, dopisujemy $0x$.

Krok 4. $-x^2 : x = -x$. Iloczyn $-x(x + 2) = -x^2 - 2x$ zapisujemy jako $x^2 + 2x$. Zostaje $2x$, dopisujemy $+7$.

Krok 5. $2x : x = 2$. Iloczyn $2(x + 2) = 2x + 4$ zapisujemy jako $-2x - 4$. Zostaje $3$.

Krok 6. Sprawdzenie.

$(x + 2)(x^3 - 2x^2 - x + 2) + 3 = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 2x^3 - 4x^2 - 2x + 4 + 3 = x^4 - 5x^2 + 7.$

Resztę potwierdza też $W(-2) = 16 - 20 + 7 = 3$.

Odpowiedź. Iloraz $Q(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$, reszta $R = 3$:

$x^4 - 5x^2 + 7 = (x + 2)(x^3 - 2x^2 - x + 2) + 3.$