Nierówność wykładnicza 0,8ⁿ < 0,1 - najmniejsze n z logarytmu

Krok 1. Logarytmujemy obie strony. Obie strony są dodatnie, a logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą, więc zwrot nierówności zostaje:

$\log 0{,}8^{n} < \log 0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad n \cdot \log 0{,}8 < -1.$

Krok 2. Dzielimy przez liczbę ujemną. $0{,}8 < 1$, więc $\log 0{,}8 < 0$ (dokładnie $\log 0{,}8 \approx -0{,}09691$). Dzielenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot:

$n > \frac{-1}{\log 0{,}8} \approx \frac{-1}{-0{,}09691} \approx 10{,}32.$

To najczęstszy błąd w tym typie zadań: kto zapomni, że $\log 0{,}8$ jest ujemny, dostanie $n < 10{,}32$ - czyli wynik z odwrotnym sensem.

Krok 3. Najmniejsza liczba naturalna. Liczby naturalne większe od $10{,}32$ zaczynają się od $11$.

Sprawdzenie. $0{,}8^{10} \approx 0{,}107 > 0{,}1$, a $0{,}8^{11} \approx 0{,}086 < 0{,}1$. $\checkmark$

Odpowiedź. $n = 11$ (nierówność spełniają wszystkie $n \geq 11$).