Nierówność 1/(x − 1) + 1/(x + 1) ≥ 2/x - trzy ułamki

Krok 1. Dziedzina. Trzy mianowniki: $x - 1 \neq 0$, $x + 1 \neq 0$, $x \neq 0$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$

Krok 2. Wspólny mianownik. Przenosimy wszystko na lewą stronę; wspólny mianownik to $x(x - 1)(x + 1)$:

$\frac{x(x + 1) + x(x - 1) - 2(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)} \ge 0.$

Krok 3. Licznik. Wymnażamy:

$x^2 + x + x^2 - x - 2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2x^2 + 2 = 2.$

Zostaje

$\frac{2}{x(x - 1)(x + 1)} \ge 0.$

Krok 4. Znak. Licznik $2$ jest dodatni i nigdy nie jest zerem, więc ułamek nie może być równy $0$. Nierówność nieostra sprowadza się do ostrej: mianownik ma być dodatni,

$x(x - 1)(x + 1) > 0.$

Krok 5. Wężyk. Pierwiastki $-1$, $0$, $1$, wyraz najwyższego stopnia $x^3$ - start od prawej nad osią.

Krok 6. Odczyt. Nad osią: $(-1;\ 0)$ oraz $(1;\ +\infty)$.

Uwaga: przy znaku $\ge$ odruchowo stawia się nawiasy ostre przy punktach z wężyka. Tu żaden z nich nie należy - wszystkie trzy wypadają z dziedziny, a licznik nie ma miejsc zerowych.

Krok 7. Sprawdzenie. Dla $x = 2$: $1 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3} \ge 1$ - prawda. Dla $x = -\tfrac{1}{2}$: $-\tfrac{2}{3} + 2 = \tfrac{4}{3} \ge -4$ - prawda. Dla $x = \tfrac{1}{2}$: $-2 + \tfrac{2}{3} = -\tfrac{4}{3} \ge 4$ - fałsz. Dla $x = -2$: $-\tfrac{1}{3} - 1 = -\tfrac{4}{3} \ge -1$ - fałsz.

Odpowiedź. $x \in (-1;\ 0) \cup (1;\ +\infty)$.