Nierówność wymierna (x + 5)/(3 − x) ≥ 0 - minus w mianowniku

Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem: $3 - x \neq 0$, czyli $x \neq 3$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$

Krok 2. Zamiana ilorazu na iloczyn. Iloraz i iloczyn dwóch liczb mają ten sam znak, więc nierówność jest równoważna warunkowi

$(x + 5)(3 - x) \ge 0 \quad \text{i} \quad x \neq 3.$

Krok 3. Wężyk. Pierwiastki iloczynu to $-5$ i $3$. Wyraz najwyższego stopnia to $x \cdot (-x) = -x^2$, więc wężyk zaczyna po prawej pod osią.

Krok 4. Odczyt. Iloczyn jest nieujemny na $\langle -5;\ 3\rangle$. Liczba $-5$ zeruje licznik - ułamek jest wtedy równy $0$, więc ją bierzemy. Liczba $3$ zeruje mianownik - odpada, mimo że nierówność jest nieostra.

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $x = 0$: $\tfrac{5}{3} \ge 0$ - prawda. Dla $x = 4$: $\tfrac{9}{-1} = -9$ - nie spełnia nierówności, zgodnie z odpowiedzią.

Uwaga: łatwo zgubić minus w czynniku $3 - x$ i zacząć wężyk nad osią - wyszłoby wtedy $(-\infty;\ -5\rangle \cup (3;\ +\infty)$, czyli dokładnie odwrotnie. Bezpieczniej od razu zapisać $\dfrac{x + 5}{3 - x} = -\dfrac{x + 5}{x - 3}$ i rozwiązywać $\dfrac{x + 5}{x - 3} \le 0$ (mnożenie przez $-1$ zmienia zwrot).

Odpowiedź. $x \in \langle -5;\ 3)$.